数字图像处理——形态学

图像分类

二值图

解释：二值图像是指仅仅包括黑色和白色两种颜色的图像，计算机将白色像素点处理为“1”，黑色像素点处理为“0”

灰度图

计算机会将灰度处理为256个灰度级，用数值区间[0，255]来表示。其中，数值“255”表示为纯白色，数值“0”表示为纯黑色，其余数值表示从纯白到纯黑的数值。

我们常看到的图片都是8位图片，即图片有$2^8 = 256$个灰度级，图片位数越高，灰度级也就越大，图片的细腻程度也会越高。一般来说8位的图片，人眼一般看不出灰度变化，而低于8位，则图片灰度变化时会产生明显的分界面。

彩色图

前面的二值图和灰度图，图片深度为1，而我们平时看见最多的为RGB彩色图，它的深度为3。

上面的图片就是彩色点，每一个点都表示一种颜色，而这个颜色是由三种颜色R、G、B混合而成的。依次，我们看到的彩色图片的每一个像素点，都是由三种颜色组成的，我们也可以把这三种颜色分离出来。如下图：

空间变换

由于每一个像素点都有自己的空间位置，并且图片就是由像素点表现出来的，那么我们可以通过改变像素点的位置来使得图片产生相应的变换，这就是图片空间变换。

空间变换对应矩阵的仿射变换，是指一个坐标通过函数变换的新的坐标位置。
从数学上来讲， 就是一个向量空间进行一次线形变换并加上平移向量， 从而变换到另外一个向量空间的过程。
向量空间m : $m=(x,y)$
向量空间n : $n=(x′,y′)$
向量空间从m到n的变换 $n=A∗m+b$
即:

$$\begin{cases} x' = A_{00} * x + A_{01} * y + b_0\\ x' = A_{00} * x + A_{01} * y + b_0\\ \end{cases}$$

将上述的A和b组合在一起就组成了仿射矩阵M：

$$M = \begin{bmatrix} {A_{00}}&{A_{01}}&{b_{0}}\\ {A_{10}}&{A_{11}}&{b_{1}}\\ \end{bmatrix}$$

平移变换

平移变换是最简单的空间变换，目标物体的每一个像素点的相对位置不变，绝对位置发生相同的变化。

平移之后的坐标可以表示为：

$$\begin{bmatrix} {x'}\\{y'} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{b_1}\\{b_2} \end{bmatrix} =\gg \begin{cases} x' = x + b_1 \\ y' = y + b_2 \end{cases}$$

缩放矩阵

将图片横坐标放大（或缩小）$S_x$倍，纵坐标放大（或缩小）$S_y$倍，变换矩阵和逆矩阵分别为：

$$M = \begin{bmatrix} {S_x}&{0}&{0}\\{0}&{S_y}&{0} \end{bmatrix} \\ M^{-1} = \begin{bmatrix} {\frac{1}{S_x}}&{0}&{0}\\{0}&{\frac{1}{S_y}}&{0} \end{bmatrix}$$

旋转变换

图像绕原点逆时针旋转$\alpha$角，其变换矩阵及逆矩阵（顺时针旋转）为：

$$M = \begin{bmatrix} {cos\alpha}&{sin\alpha}&{0}\\{-sin\alpha}&{cos\alpha}&{0} \end{bmatrix} \\ M^{-1} = \begin{bmatrix} {cos(-\alpha)}&{sin(-\alpha)}&{0}\\{-sin(-\alpha)}&{cos(-\alpha)}&{0} \end{bmatrix}$$

形态学变换

数学形态学（Mathematical morphology） 是一门建立在格论和拓扑学基础之上的图像分析学科，是数学形态学图像处理的基本理论。其基本的运算包括：腐蚀和膨胀、开运算和闭运算、骨架抽取、击中击不中变换、形态学梯度、Top-hat变换、颗粒分析等。

主要的作用有形态学滤波、连通域分割、连通域拼接、提取图像轮廓、突出图像亮斑或者暗斑等。

腐蚀（erode）

腐蚀在于消除一些孤立点, 消除一些边界点. 使边界向内收缩. 我们可以用腐蚀来消除无意义的小点。

首先需要确定一个核 kernel ， 明确核的尺寸（一般为方阵）与核取值。例如我们确定好这个核的尺寸为33 。用这个核函数与其覆盖区域的二值图像做*与（and）操作，如果都为1，将覆盖区域的中心点像素设置为1，否则为0。

使用的核函数越大，则腐蚀效果越明显。

膨胀（dilate）

膨胀与腐蚀其实刚好是一对相反的操作。膨胀是将与物体接触的所有背景点合并到该物体中，使边界向外部扩张的过程。可以用来填补物体中的空洞。

用核函数与其覆盖的二值图像区域做或 (or)操作。如果周边与其自身任意一个点为1，则覆盖区域的中心点像素设置为1, 否则为0。

同样的，核函数越大，则膨胀的效果越强。

腐蚀和膨胀都是在二值图片的基础上操作，针对的是二值图中的1，也就是亮点。所以腐蚀之后，图片整体亮度变暗，而膨胀之后整体亮度提高。

开运算

开运算（opening） 等于对图像先进行腐蚀（erode） 然后进行膨胀（dilate）。

开运算其主要作用与腐蚀相似，但与腐蚀操作相比，具有可以基本保持目标原有大小不变的优点。

开运算先腐蚀再膨胀，主要目标大小可以保持不变，而其中较小的亮点噪声就会再腐蚀过程中被消除，而在膨胀过程中，主要目标大小会被复原，而消除的亮点则不再复原。

闭运算

闭运算（closing） 是先对图像进行膨胀, 然后进行腐蚀操作.
闭运算用来填充物体内细小空洞、连接邻近物体、平滑其边界的同时并不明显改变其面积。

闭运算可以消除图像中的黑点。

形态学梯度

形态学梯度 = 图像膨胀 - 图像腐蚀，从而获取到图像的边缘。